Résumé : Nous proposons une nouvelle approche de la
notion de reconnaissance, qui diffère des définitions
classiques par trois aspects particuliers. Tout d'abord, notre approche
n'utilise pas du tout les automates. Ensuite, elle s'applique à des
algèbres de Boole de parties plutôt qu'à des ensembles
pris individuellement. Enfin elle repose sur la topologie.
Nous montrons l'existence d'un reconnaisseur minimal dans un cadre
très général qui s'applique en particulier à
n'importe quelle algèbre de Boole de parties d'un espace discret.
Nos résultats principaux montrent que ce reconnaisseur minimal est
un espace uniforme dont la complétion est le dual de
l'algèbre de Boole considérée pour la dualité
de Stone-Priestley. Dans le cas d'une algèbre de Boole de langages
fermée par quotient, cette complétion, appelée
l'espace syntactique de l'algèbre de Boole, est un monoïde
compact si et seulement si tous les langages de l'algèbre de Boole
sont reconnaissables. Dans le cas des langages reconnaissables, on retrouve
ainsi les notions de monoïde syntactique et de monoïde profini
libre. Pour les langages non reconnaissables, l'espace syntactique est
toujours un espace compact mais n'est plus un monoïde. Par ailleurs, nous
donnons une description équationnelle des algèbres de Boole
fermées par quotient, qui étend aux langages non
reconnaissables les résultats connus sur les langages
reconnaissables. Finalement, nous généralisons tous ces
résultats des algèbres de Boole aux treillis, cas dans lequel
les structures topologiques sont partiellement ordonnées.
Abstract : We propose a new approach to the notion of recognition,
which departs from the classical definitions by three specific features.
First, it does not rely on automata. Secondly, it applies to any Boolean
algebra (BA) of subsets rather than to individual subsets. Thirdly,
topology is the key ingredient.
We prove the existence of a minimum recognizer in a very
general setting which applies in particular to any BA of subsets of a
discrete space. Our main results show that this minimum recognizer is
a uniform space whose completion is the dual of the original BA in
Stone-Priestley duality; in the case of a BA of languages closed under
quotients, this completion, called the syntactic space of the
BA, is a compact monoid if and only if all the languages of the BA are
regular. For regular languages, one recovers the notions of a
syntactic monoid and of a free profinite monoid. For nonregular
languages, the syntactic space is no longer a monoid but is still a
compact space. Further, we give an equational characterization of BA
of languages closed under quotients, which extends the known results
on regular languages to nonregular languages. Finally, we generalize
all these results from BAs to lattices, in which case the appropriate
structures are partially ordered.